[MPEI] Aula03

Signed-off-by: Tiago Garcia <tiago.rgarcia@ua.pt>

3ano/1semestre/mpei/aula03/ex1.m

@@ -0,0 +1,23 @@
+% Definindo os valores da variável aleatória
+x = 1:6; % Faces do dado
+p = ones(1, 6) / 6; % Probabilidade de cada face (distribuição uniforme)
+
+figure;
+
+% (a) Gráfico da função massa de probabilidade
+subplot(2, 1, 1); % Duas linhas, uma coluna, primeiro gráfico
+bar(x, p, 'FaceColor', [0 0.5 0.8]);
+xlabel('Valores de X (Faces do dado)');
+ylabel('P(X)');
+xticks(x); % Colocar ticks em cada face do dado
+grid on;
+
+% (b) Gráfico da função de distribuição acumulada
+subplot(2, 1, 2); % Duas linhas, uma coluna, segundo gráfico
+F = cumsum(p); % Função de distribuição acumulada
+stairs(x, F, 'LineWidth', 2, 'Color', [0.8 0 0]);
+xlabel('Valores de X (Faces do dado)');
+ylabel('F(X)');
+xticks(x); % Colocar ticks em cada face do dado
+grid on;
+

3ano/1semestre/mpei/aula03/ex2.m

@@ -0,0 +1,7 @@
+xi = 0 : 4;
+p = [0.9 0.09 0.01];
+b = [0 cumsum(p) 1];
+
+stairs(xi, b);
+xlabel('Valor da Nota (Euros)');
+ylabel('F_X(x)');

3ano/1semestre/mpei/aula03/ex3.m

@@ -0,0 +1,107 @@
+% Number of simulations
+num_simulations = 10000;
+
+%% a)
+fprintf("e)\n");
+% Simulate coin tosses
+results = randi([0, 1], num_simulations, 4); % 0 = tails (C), 1 = heads (K)
+
+% Count the number of heads (K) in each simulation
+num_heads = sum(results, 2);
+
+% Estimate the probability mass function
+pX = zeros(1, 5); % For 0 to 4 heads
+for x = 0:4
+    pX(x + 1) = sum(num_heads == x) / num_simulations;
+end
+
+% Values of x (number of heads)
+values_x = 0:4;
+
+% Plotting the probability mass function
+bar(values_x, pX);
+xlabel('Number of Heads (K)');
+ylabel('Probability P(X=x)');
+title('Probability Mass Function P(X)');
+xticks(values_x);
+
+% Display the results
+disp('P(X=x) values:');
+for x = 0:4
+    fprintf('P(X=%d) = %.4f\n', x, pX(x + 1));
+end
+
+%% b)
+fprintf("\n====================\n\nb)\n");
+% Calculando o valor esperado E(X)
+E_X = sum(values_x .* pX);
+
+% Calculando E(X^2)
+E_X2 = sum((values_x.^2) .* pX);
+
+% Calculando a variância Var(X)
+Var_X = E_X2 - E_X^2;
+
+% Calculando o desvio padrão
+std_X = sqrt(Var_X);
+
+% Exibindo os resultados
+fprintf('Valor Esperado E(X) = %.4f\n', E_X);
+fprintf('Variância Var(X) = %.4f\n', Var_X);
+fprintf('Desvio Padrão σ(X) = %.4f\n', std_X);
+
+%% d)
+fprintf("\n====================\n\nd)\n");
+% Número total de lançamentos
+n = 4;
+p = 0.5;
+
+% Calculando os valores teóricos da função massa de probabilidade
+pX_teorico = zeros(1, 5);
+for k = 0:n
+    pX_teorico(k + 1) = nchoosek(n, k) * (p^k) * ((1-p)^(n-k));
+end
+
+% Comparando os valores teóricos com os estimados
+fprintf('Comparação entre valores teóricos e estimados:\n');
+fprintf('%-10s %-10s %-10s\n', 'Coroas (K)', 'Teórico', 'Estimado');
+for x = 0:4
+    fprintf('%-10d %-10.4f %-10.4f\n', x, pX_teorico(x + 1), pX(x + 1));
+end
+
+%% e)
+fprintf("\n====================\n\ne)\n");
+% Parâmetros da distribuição
+n = 4;  % número de lançamentos
+p = 0.5;  % probabilidade de obter uma coroa
+
+% Cálculo teórico do valor esperado
+E_X_teorico = n * p;
+
+% Cálculo teórico da variância
+Var_X_teorico = n * p * (1 - p);
+
+% Exibindo os resultados
+fprintf('Comparação entre valores teóricos e estimados:\n');
+fprintf('%-20s %-10s %-10s\n', 'Descrição', 'Teórico', 'Estimado');
+fprintf('%-20s %-10.4f %-10.4f\n', 'E[X]', E_X_teorico, E_X);
+fprintf('%-20s %-10.4f %-10.4f\n', 'Var(X)', Var_X_teorico, Var_X);
+
+%% f)
+fprintf("\n====================\n\nf)\n");
+% Valores teóricos da função massa de probabilidade
+pX_teorico = zeros(1, 5);
+for k = 0:n
+    pX_teorico(k + 1) = nchoosek(n, k) * (p^k) * ((1-p)^(n-k));
+end
+
+% Cálculo das probabilidades
+P_ge_2 = 1 - (pX_teorico(1) + pX_teorico(2)); % P(X >= 2)
+P_le_1 = pX_teorico(1) + pX_teorico(2); % P(X <= 1)
+P_between_1_and_3 = pX_teorico(2) + pX_teorico(3) + pX_teorico(4); % P(1 <= X <= 3)
+
+% Exibindo os resultados
+fprintf('Probabilidades:\n');
+fprintf('P(X >= 2) = %.4f\n', P_ge_2);
+fprintf('P(X <= 1) = %.4f\n', P_le_1);
+fprintf('P(1 <= X <= 3) = %.4f\n', P_between_1_and_3);

3ano/1semestre/mpei/aula03/ex4.m

@@ -0,0 +1,48 @@
+% Parâmetros do problema
+n = 5; % número de peças
+p = 0.3; % probabilidade de uma peça ser defeituosa
+num_simulacoes = 10000; % número total de simulações
+
+% Simulação
+defeituosas = binornd(n, p, num_simulacoes, 1);
+
+% Cálculo da PMF
+pmf = histcounts(defeituosas, 0:n+1, 'Normalization', 'probability');
+
+% Cálculo da CDF
+cdf = cumsum(pmf);
+
+% Cálculo da probabilidade de no máximo 2 defeituosas
+prob_max_2 = sum(pmf(1:3)); % PMF para 0, 1 e 2 peças defeituosas
+
+% Exibição dos resultados
+disp('PMF:');
+disp(pmf);
+disp('CDF:');
+disp(cdf);
+disp(['Probabilidade de no máximo 2 peças defeituosas: ', num2str(prob_max_2)]);
+
+% Gráfico na mesma figura, gráficos diferentes
+figure;
+
+% Subplot para a PMF
+subplot(2, 1, 1); % 2 linhas, 1 coluna, 1º gráfico
+bar(0:n, pmf, 'FaceColor', 'b', 'EdgeColor', 'k');
+title('Função Massa de Probabilidade (PMF)');
+xlabel('Número de Peças Defeituosas');
+ylabel('Probabilidade');
+xlim([-0.5 n + 0.5]);
+grid on;
+
+% Subplot para a CDF
+subplot(2, 1, 2); % 2 linhas, 1 coluna, 2º gráfico
+cdf_plot = [0; cdf(:)]; % Adiciona um zero no início
+x_values = 0:n; % Valores do eixo x
+x_values = [0; x_values(:)]; % Adiciona um zero no início
+
+plot(x_values, cdf_plot, '-o', 'Color', 'r');
+title('Função Distribuição Acumulada (CDF)');
+xlabel('Número de Peças Defeituosas');
+ylabel('Probabilidade Acumulada');
+xlim([-0.5 n + 0.5]);
+grid on;

3ano/1semestre/mpei/aula03/ex5.m

@@ -0,0 +1,22 @@
+% Valores de p variando de 0.001 a 0.5
+p = logspace(-3, log10(0.5), 100);
+
+% Probabilidades de despenho
+P_2_motores = p.^2;
+P_4_motores = 4 * p.^3 .* (1 - p) + p.^4;
+
+% Plotando os resultados
+figure;
+plot(p, P_2_motores, 'b-', 'LineWidth', 2);
+hold on;
+plot(p, P_4_motores, 'r-', 'LineWidth', 2);
+hold off;
+
+% Configurações do gráfico
+xlabel('Probabilidade de falha (p)');
+ylabel('Probabilidade de despenho');
+title('Probabilidade de Despenho vs. Probabilidade de Falha');
+legend('2 Motores', '4 Motores');
+grid on;
+set(gca, 'XScale', 'log');
+ylim([0 1]);

3ano/1semestre/mpei/aula03/ex6.m

@@ -0,0 +1,21 @@
+% Parâmetros
+n = 8000;
+p = 1/1000;
+k = 7;
+
+% (a) Cálculo usando a distribuição binomial
+% Cálculo da combinação diretamente
+comb = 1;
+for i = 1:k
+    comb = comb * (n - (i - 1)) / i; % Cálculo da combinação n!/(k!(n-k)!)
+end
+
+P_binomial = comb * (p^k) * ((1 - p)^(n - k));
+
+% (b) Cálculo usando a aproximação de Poisson
+lambda = 8; % média de defeituosos em 8000 chips
+P_poisson = (lambda^k * exp(-lambda)) / factorial(k);
+
+% Resultados
+fprintf('Probabilidade (Binomial) de 7 defeituosos: %.6f\n', P_binomial);
+fprintf('Probabilidade (Poisson) de 7 defeituosos: %.6f\n', P_poisson);

3ano/1semestre/mpei/aula03/ex7.m

@@ -0,0 +1,14 @@
+% Parâmetros
+lambda = 60; % média em 4 segundos
+
+% (a) Probabilidade de não receber nenhuma mensagem
+P_0 = exp(-lambda); % P(X = 0)
+
+% (b) Probabilidade de receber mais de 40 mensagens
+% Usando a soma das probabilidades de 0 a 40
+P_leq_40 = sum(exp(-lambda) * (lambda.^(0:40)) ./ factorial(0:40)); % P(X <= 40)
+P_gt_40 = 1 - P_leq_40; % P(X > 40)
+
+% Resultados
+fprintf('Probabilidade de não receber nenhuma mensagem: %.10f\n', P_0);
+fprintf('Probabilidade de receber mais de 40 mensagens: %.10f\n', P_gt_40);

3ano/1semestre/mpei/aula03/ex8.m

@@ -0,0 +1,12 @@
+% Parâmetros
+lambda = 2; % média de erros em 100 páginas
+
+% Cálculo das probabilidades
+P_0 = exp(-lambda); % P(X = 0)
+P_1 = (lambda^1 * exp(-lambda)) / factorial(1); % P(X = 1)
+
+% Probabilidade de no máximo 1 erro
+P_leq_1 = P_0 + P_1;
+
+% Resultados
+fprintf('Probabilidade de no máximo 1 erro em 100 páginas: %.6f\n', P_leq_1);

3ano/1semestre/mpei/aula03/ex9.m

@@ -0,0 +1,31 @@
+% Parâmetros
+mu = 14;         % média
+sigma = 2;      % desvio padrão
+n_samples = 100000; % número de amostras
+
+% Gerar amostras da distribuição normal
+X = mu + sigma * randn(n_samples, 1); % amostras
+
+% (a) Probabilidade de um aluno ter classificação entre 12 e 16
+P_a = mean(X >= 12 & X <= 16);
+
+% (b) Probabilidade de os alunos terem classificações entre 10 e 18
+P_b = mean(X >= 10 & X <= 18);
+
+% (c) Probabilidade de um aluno passar (classificação maior ou igual a 10)
+P_c = mean(X >= 10);
+
+% Exibir resultados
+fprintf('Estimativa da probabilidade (a) entre 12 e 16: %.4f\n', P_a);
+fprintf('Estimativa da probabilidade (b) entre 10 e 18: %.4f\n', P_b);
+fprintf('Estimativa da probabilidade (c) para passar (>= 10): %.4f\n', P_c);
+
+% Verificação usando normcdf()
+P_a_exact = normcdf(16, mu, sigma) - normcdf(12, mu, sigma);
+P_b_exact = normcdf(18, mu, sigma) - normcdf(10, mu, sigma);
+P_c_exact = 1 - normcdf(10, mu, sigma); % P(X >= 10)
+
+% Exibir resultados da verificação
+fprintf('Probabilidade exata (a) entre 12 e 16: %.4f\n', P_a_exact);
+fprintf('Probabilidade exata (b) entre 10 e 18: %.4f\n', P_b_exact);
+fprintf('Probabilidade exata (c) para passar (>= 10): %.4f\n', P_c_exact);