[MD] 'Logica de 1ª ordem' initial commit
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GPG Key ID:
DFCD48E3F420DB42
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\def\logotipo{ua.pdf}
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\def\tema{}
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\def\tema{Lógica de 1ª Ordem}
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\begin{titlepage}
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@ -57,7 +57,235 @@
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% Content
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\chapter*{Consequências Semânticas}
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\section*{Teorema}
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Uma fórmula $\Psi$ é consequência lógica (ou semântica) das fórmulas $\psi_1, \psi_2, \ldots, \psi_n$ se e só se $(\psi_1 \wedge \psi_2 \wedge \ldots \wedge \psi_n) \rightarrow \Psi$ é uma tautologia (fórmula válida).
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\subsection*{Notação}
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$ \psi_1, \ldots, \psi_n \models \Psi $\\
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$\Psi$ é consequência lógica (ou semântica) de $\psi_1, \ldots, \psi_n$\\
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\par $\psi_1, \ldots, \psi_n \vdash \Psi$ existe uma prova de $\Psi$ a partir de $\psi_1, \ldots, \psi_n$\\
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A prova recorre a regras de dedução designadas por regras de inferência, e a tautologias conhecidas.
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\section*{Teorema}
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$\psi_1, \ldots, \psi_n \models \Psi$\\
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($\Psi$ é consequẽncia lógica de $\psi_1, \ldots, \psi_n$) se e só se o conjunto ${{\psi_1, \ldots, \psi_n, \neg\Psi}}$ é inconsistente, isto é, não existe uma interpretação para a qual todas as fórmulas do conjunto tomam valor 1.
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\par Para verificar se este conjunto de fórmulas é inconsistente usamos uma nova regra designada por resolução:\\\\
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$ \frac{\psi \rightarrow \theta~~~\Psi\vee\psi}{\theta\vee\psi} res $\\Indicam que aplicámos a regra/método da resolução.
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\subsection*{Casos particulares}
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\begin{enumerate}
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\item{Se $ \theta \equiv \bot $ obtemos\\
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$\frac{\Psi \rightarrow \bot~~~\Psi\vee\psi}{\bot\vee\psi}$\\
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simplificando como: $\bot\vee\psi\equiv\psi~~$ e $~~\Psi\rightarrow\bot\equiv\ned\Psi\vee\bot\equiv\ned\Psi$
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\par Para este caso particular a regra da resolução é:\\
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$\frac{\neg\Psi~~~\Psi\vee\psi}{\psi} res ~~ \rightarrow \neg\Psi, \Psi $ são lineares complementares.
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}
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\item {
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Se $ \theta\equiv\bot~~~e~~~\psi\equiv\bot $ (este é um caso particular do caso 1.)
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\par Se $\psi\equiv\bot$ então $\Psi\vee\psi\equiv\Psi\vee\bot\equiv\Psi$\\
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Substituindo no caso particular da regra de resolução obtida em 1. tem-se\\
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$ \frac{\neg\Psi~~~\Psi}{\bot} res $
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}
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\end{enumerate}
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\chapter*{Lógica Proposicional}
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\section*{Definição}
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\subsection*{Simbolos}
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Variáveis proposicionais: $p, q, \Psi, \psi, \ldots$\\
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Constantes: $\bot e \top$
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Conetivos lógicos: $\wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow, \neg, \equiv$
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\subsection*{Regras de construção}
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\begin{enumerate}
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\item{Se $\psi$ é uma fórmula proposicional então $\neg\neg\psi$ é uma fórmula proposicional.}
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\item{Se $\psi$ e $\theta$ são fórmulas proposicionais então $\psi\wedge\theta$ é uma fórmula proposicional.}
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||||
\item{Se $\psi$ e $\theta$ são fórmulas proposicionais então $\psi\vee\theta$ é uma fórmula proposicional.}
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||||
\item{Se $\psi$ e $\theta$ são fórmulas proposicionais então $\psi\rightarrow\theta$ é uma fórmula proposicional.}
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||||
\item{Se $\psi$ e $\theta$ são fórmulas proposicionais então $\psi\leftrightarrow\theta$ é uma fórmula proposicional.}
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\end{enumerate}
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\section*{Dedução na lógica proposicional}
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\begin{itemize}
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\item {Verificar se uma fórmula é consequência lógica de um conjunto finito de fórmulas.\\
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$\psi_1, \ldots, \psi_n \models \Psi$
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}
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\item {Vimos que a consequência lógica é válida se e só se a implicação\\
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$\psi_1 \wedge \psi_2 \wedge \ldots \wedge \psi_n \rightarrow \Psi$ é uma tautologia.
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}
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\end{itemize}
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\subsection*{Para verificar se uma consequência lógica é válida:}
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\begin{enumerate}
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\item Verificar se a implicação associada é uma tautologia.
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\item Verificar se é possível obter (também são usados os termos deduzir, derivar, entre outros) $\Psi$ a partir de $\psi_1, \ldots, \psi_n$, recorrendo a regras de inferência e tautologias conhecidas (propriedades dos conetivos lógicos).\\ (através de uma sequência de deduções em que aplicamos as regras de inferências e tautologias), diz-se que existe uma prova de $\Psi$ a partir de $\psi_1, \ldots, \psi_n$ e escreve-se $\psi_1, \ldots, \psi_n \vdash \Psi$.
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\item Aplicar a regra de resolução - Método de resolução.
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\end{enumerate}
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\subsubsection*{Método de resolução}
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A consequência lógica $\psi_1, \ldots, \psi_n \models, \Psi$ é válida se e só se o conjunto de fórmulas {$\psi_1, \ldots, \psi_n, \neg\Psi$} é inconsistente, ou seja, este conjunto contém $\bot$ ou é possível deduzir $\bot$ a partir deste conjunto de fórmulas, isto é, existe uma prova de $\bot$ a partir de $\psi_1,\ldots,\psi_n,\neg\Psi$.
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\chapter*{Lógica de 1ª ordem}
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\section*{Definição} {
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Exemplo de uma fórmula da lógica proposicional:\\
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$(p \wedge q) \rightarrow r $\\
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Para traduzir frases do tipo:\\
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i) \color{red} todos \color{black} os gatos têm garras.\\
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||||
ii) \color{red} alguns \color{black} alunos de MD têm 20.\\
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\par Passamos da lógica proposicional para a lógica de 1ª ordem (esta última engloba a outra).
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}
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\section*{Linguagem da lógica de 1ª ordem} {
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\subsection*{Alfabeto} {
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\begin{enumerate}
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\item Variáveis: x, y, z, \ldots;
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\item Conetivos lógicos da lógica proposicional: $\wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow, \neg, \equiv$;
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\item Constantes da lógica proposicional: $\bot e \top$;
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\item Os quantificadores $\forall~e~\exists$;
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\item O símbolo de igualdade: =;
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\item Símbolos de constantes;
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\item Símbolos de funções com aridade $n \in N$ (isto é, com $n$ argumentos);
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\item Símbolos de predicados.
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\end{enumerate}
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}
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\subsection*{Termo} {
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\begin{enumerate}
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\item Cada variável e cada símbolo de constante é um termo;
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\item { Se f é símbolo de função com aridade $n$ e $t_1, \ldots, t_n$ são termos então $f(t_1, \ldots, t_n)$ é um termo.\\\\
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Exemplo: {
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\begin{itemize}
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\item Variáveis: $x, y, z$;
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\item Constantes: $a = 1$, $b = $ Maria, $c = $ Gato tareco;
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\item Funções: pai(Maria), onde\\ Pai: $P\rightarrow P$, onde $P$ é o conjunto das pessoas.
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\item Predicado: $par(x)="x$ é par\("\), $D=N$\\ $par(2)=1,~~par(3)=0$, etc.
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\end{itemize}
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Como é que se constroem as fórmulas da lógica de 1.ª ordem?\\
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Definição (recursiva) de fórmula:
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\begin{itemize}
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\item $P(t_1, \ldots, t_n)$ é uma fórmla, considerando $P$ um simbolo de predicado e $t_1,\ldots,t_n$ termos.
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\item Se $\psi$ e $\Psi$ sao fórmulas então:\\ $\psi \wedge \Psi$, $\psi \vee \Psi$, $\psi \rightarrow \Psi$, $\psi \leftrightarrow \Psi$, $\neg\psi$, $\bot$ e $\top$ são fórmulas.
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||||
\item Se $\psi$ é uma fórmula e $x$ é uma variável então $\forall x \psi$ e $\exists x \psi$ também são fórmulas.
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||||
\item Se $t_1$ e $t_2$ são termos então $t_1 = t_2$ é uma fórmula.
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\end{itemize}
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}
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}
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\end{enumerate}
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}
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\subsection*{Átomo} {
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Na lógica proposicional, os átomos são as proposições atómicas (ex: $p =$ "chove", $q = $ "vou à aula de MD")\\
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\par Os átomos da lógica de 1ª ordem são:
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\begin{enumerate}
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\item $\bot, \top$
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\item $t_1=t_2$, com $t_1$ e $t_2$ termos
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\item $P(t_1,\ldots,t_n)$, onde $t_1,\ldots,t_n$ são termos e $P$ é um simbolo de predicado.
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\end{enumerate}
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\subsubsection*{Exemplo} {
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Consideremos os espaços vetoriais estudados na ALGA.\\
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O alfabeto inclui:
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\begin{itemize}
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\item O símbolo de constante o que representa o elemento nulo dos espaço vetorial
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\item Símbolos de funções
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\begin{enumerate}
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\item Para cada $\alpha \in R$, o símbolo de funções\\ $\alpha \cdot \_$\\ que tem aridade 1 correspondente à multiplicação escalar.
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\item O símbolo de função + com aridade 2, que corresponde à adição de elementos do espaço vetorial.
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\end{enumerate}
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\end{itemize}
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}
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\subsubsection*{Exemplos} {
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Converta as seguintes afirmações para linguagem simbólica da lógica de 1ª ordem:
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\begin{enumerate}
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\item{ \color{red}Todos \color{black} os gatos têm garras.\\
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\color{red} $\forall x$ \color{black} [$g(x) \rightarrow t(x)$]\\
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\color{red} Universo: $U$ = conjunto dos animais.
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}
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\item{ \color{red} Alguns \color{black} alunos de MD têm 20.\\
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\color{red} $\exists x$ \color{black} ($MD(x) \wedge V(x)$)\\
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MD(x) = "x é aluno de MD"\\
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V(x) = "x tem 20"
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\color{red} Universo: $U$ = alunos da UA em 22/23
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}
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\end{enumerate}
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}
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}
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}
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\section*{Folha 1}
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\subsection*{Exercício 2.}
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\subsubsection*{c)}
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\color{red} Todos \color{black} os insetos são mais leves do que \color{red} algum \color{black} mamífero.~~~~~\color{red} $\forall$ $\exists$\\
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\color{black} Predicados:\\
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$I(x)$ = ``x é um inseto``\\
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$L(y,z)$ = ``y é mais leve do que z``\\
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$M(w)$ = ``w é um mamífero``\\
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\par $\forall x \left(I(x) \rightarrow \exists y \left( M(y) \wedge L(x, y) \right) \right)$
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\par Obs: Alcance de cada quantificador:\\
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\begin{itemize}
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\item Ocorrência de x ligada: $I(x)$
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\item Alcance de $\forall x$: $\left(I(x) \rightarrow \exists y \left( M(y) \wedge L(x, y \right) \right)$
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\item Ocorrências de y ligadas: $M(y)$ e $L(x, y)$
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\item Alcance de $\exists y$: $\left( M(y) \wedge L(x, y \right)$
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\end{itemize}
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\chapter*{Fórmula fechada} {
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\section*{Definição} {
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Fórmula que não tem variáveis com occorrências livres.
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\subsection*{Exemplo} {
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$\forall x~\exists y~(P(x)~\rightarrow~R(x,y))$ é uma fórmula fechada.
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\par $\exists y~((\forall x~P(x))~\wedge~R(x,y))$, esta fórmula não é uma fórmula fechada.
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}
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\subsection*{Negação de fórmula com quantificadores} {
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\begin{enumerate}
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\item $\neg (\forall x~\psi)~\equiv~\exists x~\neg \psi$.
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\item $\neg (\exists x~\psi)~\equiv~\forall x~\neg \psi$.
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\end{enumerate}
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$\psi$ - parte da fórmula que está sob o quantificador.
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}
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}
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\section*{Introdução das fórmulas da lógica de 1ª ordem} {
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\subsection*{Definição} {
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\begin{itemize}
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\item Estrututa;
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\item Valoração,~~~V:$var~\rightarrow~D$, onde $D$ é o conjunto das variáveis.
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\end{itemize}
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O conceito de valoração pode ser entendido por forma a podermos considerar a valoração de um termo.\\
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$V(a) = a$, se $a$ é uma constante $V(f(t_1,\ldots,t_n)) = f^M(V(t_1),\ldots,V(t_n))$.
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\textbf{Obs:} Frequentemente denotamos o símbolo de função $f$ e a função correspondente na estrutura $f^M$, pela mesma letra.
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}
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\subsection*{Exemplo dos slides} {
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$V(M(A, x)) = M^M(V(A), V(x)) = M(A^M, 2) = M(1,2) = |1-2| = |-1| = 1$,~~~~~~$V(A) = A$ porque $A$ é uma constante.
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}
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}
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\section*{Interpretação de fórmulas} {
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\subsection*{Exemplo de interpretação de fórmulas (ver slides)} {
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\subsubsection*{i)} {
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Mostre que $R(x, A)$ não é válida na interpretação $(M,V)$\\
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\par Note-se que $\neg (M,V)\models R(x,A)$ se e só se $(M,V) \models \neg R(x,A)$ ($\neg R(x,A)$ é válida na interpretação $(M,V)$)\\
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||||
\par $V(\neg R(x,A))\equiv\neg R(V(x),V(A))\equiv\neg R(2, A^M)\equiv\neg R(2, 1)\\\equiv\neg(2 < 1)\equiv\neg\bot\equiv\top $\\Logo, $\neg R(x, A)$ é valida na interpretação $(M,V)$, isto é, $(M,V)\models\neg R(x, A)$\\
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||||
Isto é equivalente a afirmar que $R(x,A)$ não é válida nesta interpretação.
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}
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}
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}
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}
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\chapter*{Forma normal de Skolem} {
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\section*{Definição} {
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Uma fórmula $\phi$ é dita em forma normal de Skolem se $\phi$ é uma fórmula na forma normal conjuntiva e não contém nenhum quantificador universal.
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}
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\section*{Exemplo} {
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\subsection*{1)} {
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$\forall x~P(x, f(x))\wedge\neg R(x) $, onde $f$ é uma função e $R$ e $P$ são predicados.\\
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}
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\subsection*{2)} {
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$\forall x~\forall y~(P(x, f(x)) \wedge (\neg R(x)~\vee~P(x,y)))$
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\subsubsection*{Ideia} {
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\begin{enumerate}
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\item Convertemos $F$ numa fórmula $G$ que está na FNC prenex.\\ Note-se que $F \equiv G$
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\item A partir de $G$ obtemos uma fórmula $H$ que está na forma normal de Skolem.
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\end{enumerate}
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\textbf{Para tal:}\\
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\begin{itemize}
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\item Se no início da fórmula temos um quantificador do tipo $\exists x$, substituimos todas as ocorrências de $x$ por um símbolo $a$ que represente uma constante e eliminamos o quantificador $\equiv x$.
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\item Se na fórmula existe um quantificador existencial $\exists x_k$ com os quantificadores universais $\forall x_1~\forall x_2~\dots~\forall x_{k-1}$, à sua esquerda, substituimos todas as ocorrências de $x_k$ por um símbolo de função que ainda não esteja na fórmula, por exemplo $f$, que tem nos seus argumentos as variáveis $x_1, x_2, \dots, x_{k-1}$, isto é, $x_k$ é substituido por $f(x_1,\ldots,x_{k-1})$.\\\textbf{Atenção:} A fórmula $H$ que obtemos na forma normal de Skolen pode não ser (logicamente) equivalente à fórmula $G$ escrita na FNC prenex ou à fórmula $F$ original.
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\end{itemize}
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}
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}
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}
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}
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\end{document}
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