Uma fórmula $\Psi$ é consequência lógica (ou semântica) das fórmulas $\psi_1, \psi_2, \ldots, \psi_n$ se e só se $(\psi_1\wedge\psi_2\wedge\ldots\wedge\psi_n)\rightarrow\Psi$ é uma tautologia (fórmula válida).
\subsection*{Notação}
$\psi_1, \ldots, \psi_n \models\Psi$\\
$\Psi$ é consequência lógica (ou semântica) de $\psi_1, \ldots, \psi_n$\\
\par$\psi_1, \ldots, \psi_n \vdash\Psi$ existe uma prova de $\Psi$ a partir de $\psi_1, \ldots, \psi_n$\\
A prova recorre a regras de dedução designadas por regras de inferência, e a tautologias conhecidas.
($\Psi$ é consequẽncia lógica de $\psi_1, \ldots, \psi_n$) se e só se o conjunto ${{\psi_1, \ldots, \psi_n, \neg\Psi}}$ é inconsistente, isto é, não existe uma interpretação para a qual todas as fórmulas do conjunto tomam valor 1.
\par Para verificar se este conjunto de fórmulas é inconsistente usamos uma nova regra designada por resolução:\\\\
$\frac{\psi\rightarrow\theta~~~\Psi\vee\psi}{\theta\vee\psi} res $\\Indicam que aplicámos a regra/método da resolução.
\item{Se $\psi$ é uma fórmula proposicional então $\neg\neg\psi$ é uma fórmula proposicional.}
\item{Se $\psi$ e $\theta$ são fórmulas proposicionais então $\psi\wedge\theta$ é uma fórmula proposicional.}
\item{Se $\psi$ e $\theta$ são fórmulas proposicionais então $\psi\vee\theta$ é uma fórmula proposicional.}
\item{Se $\psi$ e $\theta$ são fórmulas proposicionais então $\psi\rightarrow\theta$ é uma fórmula proposicional.}
\item{Se $\psi$ e $\theta$ são fórmulas proposicionais então $\psi\leftrightarrow\theta$ é uma fórmula proposicional.}
\end{enumerate}
\section*{Dedução na lógica proposicional}
\begin{itemize}
\item{Verificar se uma fórmula é consequência lógica de um conjunto finito de fórmulas.\\
$\psi_1, \ldots, \psi_n \models\Psi$
}
\item{Vimos que a consequência lógica é válida se e só se a implicação\\
$\psi_1\wedge\psi_2\wedge\ldots\wedge\psi_n \rightarrow\Psi$ é uma tautologia.
}
\end{itemize}
\subsection*{Para verificar se uma consequência lógica é válida:}
\begin{enumerate}
\item Verificar se a implicação associada é uma tautologia.
\item Verificar se é possível obter (também são usados os termos deduzir, derivar, entre outros) $\Psi$ a partir de $\psi_1, \ldots, \psi_n$, recorrendo a regras de inferência e tautologias conhecidas (propriedades dos conetivos lógicos).\\ (através de uma sequência de deduções em que aplicamos as regras de inferências e tautologias), diz-se que existe uma prova de $\Psi$ a partir de $\psi_1, \ldots, \psi_n$ e escreve-se $\psi_1, \ldots, \psi_n \vdash\Psi$.
\item Aplicar a regra de resolução - Método de resolução.
\end{enumerate}
\subsubsection*{Método de resolução}
A consequência lógica $\psi_1, \ldots, \psi_n \models, \Psi$ é válida se e só se o conjunto de fórmulas {$\psi_1, \ldots, \psi_n, \neg\Psi$} é inconsistente, ou seja, este conjunto contém $\bot$ ou é possível deduzir $\bot$ a partir deste conjunto de fórmulas, isto é, existe uma prova de $\bot$ a partir de $\psi_1,\ldots,\psi_n,\neg\Psi$.
\chapter*{Lógica de 1ª ordem}
\section*{Definição}{
Exemplo de uma fórmula da lógica proposicional:\\
$(p \wedge q)\rightarrow r $\\
Para traduzir frases do tipo:\\
i) \color{red} todos \color{black} os gatos têm garras.\\
ii) \color{red} alguns \color{black} alunos de MD têm 20.\\
\par Passamos da lógica proposicional para a lógica de 1ª ordem (esta última engloba a outra).
\item Funções: pai(Maria), onde\\ Pai: $P\rightarrow P$, onde $P$ é o conjunto das pessoas.
\item Predicado: $par(x)="x$ é par\("\), $D=N$\\$par(2)=1,~~par(3)=0$, etc.
\end{itemize}
Como é que se constroem as fórmulas da lógica de 1.ª ordem?\\
Definição (recursiva) de fórmula:
\begin{itemize}
\item$P(t_1, \ldots, t_n)$ é uma fórmla, considerando $P$ um simbolo de predicado e $t_1,\ldots,t_n$ termos.
\item Se $\psi$ e $\Psi$ sao fórmulas então:\\$\psi\wedge\Psi$, $\psi\vee\Psi$, $\psi\rightarrow\Psi$, $\psi\leftrightarrow\Psi$, $\neg\psi$, $\bot$ e $\top$ são fórmulas.
\item Se $\psi$ é uma fórmula e $x$ é uma variável então $\forall x \psi$ e $\exists x \psi$ também são fórmulas.
\item Se $t_1$ e $t_2$ são termos então $t_1= t_2$ é uma fórmula.
\end{itemize}
}
}
\end{enumerate}
}
\subsection*{Átomo}{
Na lógica proposicional, os átomos são as proposições atómicas (ex: $p =$ "chove", $q =$ "vou à aula de MD")\\
\par Os átomos da lógica de 1ª ordem são:
\begin{enumerate}
\item$\bot, \top$
\item$t_1=t_2$, com $t_1$ e $t_2$ termos
\item$P(t_1,\ldots,t_n)$, onde $t_1,\ldots,t_n$ são termos e $P$ é um simbolo de predicado.
\end{enumerate}
\subsubsection*{Exemplo}{
Consideremos os espaços vetoriais estudados na ALGA.\\
O alfabeto inclui:
\begin{itemize}
\item O símbolo de constante o que representa o elemento nulo dos espaço vetorial
\item Símbolos de funções
\begin{enumerate}
\item Para cada $\alpha\in R$, o símbolo de funções\\$\alpha\cdot\_$\\ que tem aridade 1 correspondente à multiplicação escalar.
\item O símbolo de função + com aridade 2, que corresponde à adição de elementos do espaço vetorial.
\end{enumerate}
\end{itemize}
}
\subsubsection*{Exemplos}{
Converta as seguintes afirmações para linguagem simbólica da lógica de 1ª ordem:
\begin{enumerate}
\item{\color{red}Todos \color{black} os gatos têm garras.\\
$\psi$ - parte da fórmula que está sob o quantificador.
}
}
\section*{Introdução das fórmulas da lógica de 1ª ordem}{
\subsection*{Definição}{
\begin{itemize}
\item Estrututa;
\item Valoração,~~~V:$var~\rightarrow~D$, onde $D$ é o conjunto das variáveis.
\end{itemize}
O conceito de valoração pode ser entendido por forma a podermos considerar a valoração de um termo.\\
$V(a)= a$, se $a$ é uma constante $V(f(t_1,\ldots,t_n))= f^M(V(t_1),\ldots,V(t_n))$.
\textbf{Obs:} Frequentemente denotamos o símbolo de função $f$ e a função correspondente na estrutura $f^M$, pela mesma letra.
}
\subsection*{Exemplo dos slides}{
$V(M(A, x))= M^M(V(A), V(x))= M(A^M, 2)= M(1,2)= |1-2| = |-1| =1$,~~~~~~$V(A)= A$ porque $A$ é uma constante.
}
}
\section*{Interpretação de fórmulas}{
\subsection*{Exemplo de interpretação de fórmulas (ver slides)}{
\subsubsection*{i)}{
Mostre que $R(x, A)$ não é válida na interpretação $(M,V)$\\
\par Note-se que $\neg(M,V)\models R(x,A)$ se e só se $(M,V)\models\neg R(x,A)$ ($\neg R(x,A)$ é válida na interpretação $(M,V)$)\\
\par$V(\neg R(x,A))\equiv\neg R(V(x),V(A))\equiv\neg R(2, A^M)\equiv\neg R(2, 1)\\\equiv\neg(2 < 1)\equiv\neg\bot\equiv\top$\\Logo, $\neg R(x, A)$ é valida na interpretação $(M,V)$, isto é, $(M,V)\models\neg R(x, A)$\\
Isto é equivalente a afirmar que $R(x,A)$ não é válida nesta interpretação.
}
}
}
}
\chapter*{Forma normal de Skolem}{
\section*{Definição}{
Uma fórmula $\phi$ é dita em forma normal de Skolem se $\phi$ é uma fórmula na forma normal conjuntiva e não contém nenhum quantificador universal.
}
\section*{Exemplo}{
\subsection*{1)}{
$\forall x~P(x, f(x))\wedge\neg R(x)$, onde $f$ é uma função e $R$ e $P$ são predicados.\\
\item Convertemos $F$ numa fórmula $G$ que está na FNC prenex.\\ Note-se que $F \equiv G$
\item A partir de $G$ obtemos uma fórmula $H$ que está na forma normal de Skolem.
\end{enumerate}
\textbf{Para tal:}\\
\begin{itemize}
\item Se no início da fórmula temos um quantificador do tipo $\exists x$, substituimos todas as ocorrências de $x$ por um símbolo $a$ que represente uma constante e eliminamos o quantificador $\equiv x$.
\item Se na fórmula existe um quantificador existencial $\exists x_k$ com os quantificadores universais $\forall x_1~\forall x_2~\dots~\forall x_{k-1}$, à sua esquerda, substituimos todas as ocorrências de $x_k$ por um símbolo de função que ainda não esteja na fórmula, por exemplo $f$, que tem nos seus argumentos as variáveis $x_1, x_2, \dots, x_{k-1}$, isto é, $x_k$ é substituido por $f(x_1,\ldots,x_{k-1})$.\\\textbf{Atenção:} A fórmula $H$ que obtemos na forma normal de Skolen pode não ser (logicamente) equivalente à fórmula $G$ escrita na FNC prenex ou à fórmula $F$ original.
